Malba Tahan: O homem que calculava

Filho de professores, cujo maior patrimônio eram os nove filhos, Júlio César nasceu no Rio de Janeiro, no dia 06 de maio de 1895.

Júlio César não foi bom aluno de matemática no Colégio Pedro II: chegou a tirar dois em uma sabatina de álgebra e cinco em uma prova de aritmética. Criticava veementemente a didática da época que classificava como o detestável método de salivação.

Nasce o personagem: Em 1919 Júlio César, depois de tentar inutilmente publicar alguns artigos seus, no jornal O Imparcial onde trabalhava, convenceu o editor a publicar os artigos de um certo R. S. Slade, que, segundo ele, estava fazendo enorme sucesso nos Estados Unidos. O primeiro de todos os artigos publicados com o pseudônimo R.S. Slade foi A vingança do Judeu. Entre 1918 e 1925, Júlio César estudou árabe, leu o Talmude e o Corão, estudou História e Geografia do Oriente e, combinado com Irineu Marinho, do jornal A NOITE, criou o personagem Ali Iezid Izz-Eduim Ibn Salim Hank Malba Tahan.

O livro "O homem que calculava"  narra as aventuras e proezas matemáticas do calculista persa Beremiz Samir, personagem central de eventos que se desenrolaram na Bagdá do século XIII, cujas peripécias se tornaram lendárias e encantaram reis, poetas, xeques e sábios.

Sucesso de vendas no Brasil, foi publicado pela primeira vez em 1939 e reeditado várias vezes - já chegou a sua 75ª edição. Lido por várias gerações, o livro, foi também traduzido para o espanhol, o inglês, o italiano, o alemão, o francês e o catalão.

Sob a forma de romance o livro apresenta alguns problemas dentro da paisagem do mundo islâmico medieval, resolve e explica diversos problemas, quebra-cabeças e a história da matemática e, inclui, ainda, lendas e histórias pitorescas, como, por exemplo, a lenda da origem do jogo de xadrez e a história da filósofa e matemática Hipátia de Alexandria e, ao longo de sua obra, o autor, por ser um grande estudioso da cultura islã, faz sempre referências à essa cultura no livro, dando uma real impressão de que tudo ocorreu mesmo entre beduínos do deserto, xeques, vizires, magos, princesas e sultões.

O Homem que Calculava nasceu em uma pequena aldeia de Khói, na Pérsia, onde muito jovem, pastoreava um grande rebanho de ovelhas e ao recolhê-las ao abrigo, no final do dia, contava-as várias vezes com receio de ser castigado por negligência.

Aos poucos, foi desenvolvendo sua habilidade para contar, tanto que num relance calculava sem errar o rebanho inteiro e, assim, começou a exercitar contando pássaros, formigas, pequenos insetos, folhas de árvores, chegando à proeza de contar todas as abelhas de um enxame. Após trabalhar durante anos, usando seus dons matemáticos, como responsável pelas plantações e as vendas dos frutos, seu patrão lhe deu férias por quatro meses.

Beremiz decidiu partir para a cidade de Bagdá e a caminho, durante uma de suas paradas para exercitar seus cálculos, conhece Hank Tade-Maiá — narrador da história — um bagdali que voltava, em seu camelo, de uma excursão à famosa cidade de Samarra, nas margens do Tigre.

Samir conta-lhe sua história e Hank impressionado com suas grandes habilidades matemáticas, convenceu-o de que esta habilidade poderia proporcionar, a qualquer pessoa, um meio seguro de ganhar riquezas invejáveis na capital ou mesmo Bagdá, e, assim, o jovem Beremiz Samir, decidiu acompanhar Hank até Bagdá e sem mais preâmbulos, acomodou-se como pode em cima do único camelo que possuiam rumo à gloriosa cidade e, a partir deste encontro casual, tornaram-se companheiros e amigos inseparáveis.

Durante a viagem pelo deserto Beremiz ia se exercitando contando pássaros, galhos e folhas das árvores e quando deparava com diferentes problemas ou conflitos matemáticos vivenciados pelos viajantes que cruzavam e que aparentemente sem solução, Beremiz, com sua grande capacidade de raciocínio lógico os resolve de forma simples e transparente, explicando aos seus observadores como chegou a tais conclusões, e, em algumas situações, recebe alguma recompensa, porém, em outras, se livra de situações complicadas e potencialmente perigosas.


Algumas questões matemáticas do livro:

1. Os 35 camelos
A divisão dos 35 camelos ( O homem que calculava )
Um pai de três filhos lhes deu a ordem que depois de morto, deveriam dividir os 35 camelos que possuía, de modo que o primeiro filho deveria receber a metade deles, o segundo deveria receber um terço e ao último caberia um nono.
Como   não houve concordância entre os irmãos o que houve de fato com os mesmos ?

A) Cada herdeiro (irmão) ficou então, com um número inteiro de camelos, maior que a parte inteira da divisão inicial .

B) Os três irmãos tiveram uma concordância entre o sábio e foi feita a vontade de seu pai  
C) O sábio não soube realizar o efetuamento do problema entre os herdeiros 

D) Os três irmãos receberam de forma diferenciada e desigual a divisão feita pelo sábio .

 Resolução :

A resposta correta é a alternativa A :

O inteligente Beremiz procurou informar-se do que se tratava.

 

- Somos irmãos – esclareceu o mais velho – e recebemos como herança
esses 35 camelos. Segundo a vontade expressa de meu pai, devo receber a
metade, o meu irmão Hamed Namir uma terça parte, e, ao Harim, o mais moço,
deve tocar apenas a nona parte. Não sabemos, porém, como dividir dessa 
forma 35 camelos, e, a cada partilha proposta segue-se a recusa dos outros 
dois, pois a metade de 35 é 17 e meio. Como fazer a partilha se a terça e a 
nona parte de 35 também não são exatas?

A partilha, segundo a vontade do pai, seria: 

Primeiro irmão : 35/2 = (17+1/2) camelos
Segundo irmão: 35/3 = (11+2/3) camelos
Terceiro irmão: 35/9 = (3+8/9) camelos

Beremiz Samir notou que a soma das parcelas era menor que o total. Havia, 
estão, uma sobra, uma gordurinha para queimar:

1/2 + 1/3 + 1/9 = 17/18, menor do que 1
sobra: 1 - 17/18 = 1/18
1/18 do total = (1/18)*35 = 1 +17/18 --- um camelo e fração, quase dois 
camelos!

Notou, ainda, que, se acrescentasse um camelo ao total, ficando, então, 36 camelos, obteria divisões exatas, pois
36 é múltiplo de 2, 3 e 9.
Assim, ele juntou seu camelo ao grupo e dividiu:

Primeiro irmão : 36/2 = 18 camelos
Segundo irmão: 36/3 = 12 camelos
Terceiro irmão: 36/9 = 4 camelos
Total = 34 camelos
Restaram , Sobraram = 2 camelos

um para o matemático e outro para seu companheiro 

2. A plantação de maçãs

A vda90 maçãs ( O homem que calculava )

3 irmãos tem uma plantação de maça. Após a colheita o irmão mais velho ficou

com 50 maças, o do meio com 30 e o mais novo com 10. O pai deles estipulou
que todos devem vender as maças pelo mesmo preço e ganharem a mesma quantidade de dinheiro .

 

A) O primeiro vendeu 50; o segundo vendeu 30 e o terceiro 10.

B)  5 cotas de 1 maçãs, ficar com 7 reais e 1 maçã , Segundo : 4 cotas de 5 maçãs ficando com 9 reais e mais 1 maçãs , Terceiro : 1 e fica com 8 real e mais 3 maçãs.

C) 6 cotas de 2 maçãs, ficar com 7 reais e 10 maçã , Segundo : 4 cotas de 10 maçãs ficando com 4 reais e mais 5 maçãs , Terceiro : 7 e fica com 3 real e mais 1 maçãs.

D) O primeiro : 7 cotas de 7 maçãs, ficar com 7 reais e 1 maçã , Segundo : 4 cotas de 7 maçãs ficando com 4 reais e mais 2 maçãs , Terceiro : 7 e fica com 1 real e mais 3 maçãs. 

 

 

 

 

 

Resolução :

 

Todos os filhos separam as maçãs em cotas de 7 e vendem essas cotas a 1 real. O Primeiro irmão que possui 50, vai vender 7 cotas de 7 maçãs, ficar com 7 reais e 1 maçã. O Segundo irmão que possui 30 venderia 4 cotas de 7 maçãs ficando com 4 reais e mais 2 maçãs.

 

 

 resposta correta é a alternativa D :

O Terceiro irmão que possui 10, vende apenas uma cota de 7 e fica com 1 real e mais 3 maçãs. As maçãs que sobraram de todos são vendidas a 3 reais. 

 

 

 
 

3. A divisão dos 21 vasos de vinho

 

21 garrafas de vinho, 7 cheias, 7 vazias e 7 pela metade precisam ser divididas entre 3 pessoas de modo que cada pessoa fique com a mesma quantidade de garrafas e a mesma quantidade de vinho. 

A) O primeiro : 3 cheias , 2 metades e 2 vazia ; O Segundo : 1 cheias 4 metades e 2 vazias; O Terceiro : 2 cheias 4 metade e 1 vazias .

B) O primeiro : 2 cheias , 3 metades e 2 vazia ; O Segundo : 2 cheias 3 metades e 2 vazias; O Terceiro : 3 cheias 1 metade e 3 vazias .

C)  O primeiro : 3 cheias , 2 metades e 2 vazia ; O Segundo : 3 cheias 3 metades e 1 vazias; O Terceiro : 3 cheias 3 metade e 1 vazias .

D) O primeiro : 2

 

 cheias , 2 metades e 3 vazia ; O Segundo : 2 cheias 2 metades e 3 vazias; O Terceiro : 1 cheias 3 metade e 3 vazias .
 
 

Resolução : 
Supondo que o vaso cheio tenha 1 litro de vinho então
 temos:
 que o meio cheio tem meio litro de vinho. Daí, fazemos a seguinte divisão:
Sócio 1 recebe: 3 cheios, 3 vazios e 1 meio cheio = 7 vasos
Sócio 2 recebe: 2 cheios, 3 meio cheios e 2 vazios = 7 vasos
Sócio 3 recebe: 2 cheios, 3 meio cheios e 2 vazios = 7 vasos

E cada um recebe a mesma quantidade de litro que é de 3 litros e meio. 

 

 

 

4. As abelhas
A quina parte de um enxame de abelhas pouco na flor de kadamba , a terça parte numa flor de silinda , o triplo da diferença entre estes dois números voa , sobre uma flor de krutaja e uma abelha adeja sozinha , no ar , pelo perfume de um jasmim e de um pandnus . Dize - me , bela menina , qual o número de abelhas ?
A)30
B)15
C)60
D)45

Resolução :
A resposta correta é a alternativa B :

x/5+x/3+3.(x/3-x/5)+1=x
x/5+x/3+3(5x-3x)/15+1=x
x/5+x/3+2x/5+1=x
(3x+5x+6x+15)/15=15x/15
14x+15=15x
15x-14x=15
x=15 


 5. Problema de Lógica: As pérolas do rajá 

Um rajá deixou às suas filhas certo número de pérolas e determinou que a divisão se fizesse do seguinte modo: a filha mais velha tiraria 1 pérola e um sétimo do que restasse; viria, depois, a segunda e tomaria para si 2 pérolas e um sétimo do restante; a seguir a terceira jovem receberia 3 pérolas e um sétimo do que restasse. E assim sucessivamente. A divisão proposta pelo velho rajá era justa e perfeita. Feita a partilha, cada uma das herdeiras recebeu o mesmo número de pérolas. Pergunta-se: Qual o número de pérolas? Quantas são as filhas do rajá?
A)49 Pérolas e 7 Filhas
B)42 Pérolas e 7 Filhas
C)36 Perolas e 6 Filhas
D)30 Pérolas e 6 Filhas

 Resolução :
A resposta correta é a alternativa C :
Seja x o número total de pérolas do rajá e q1, q2, q3 etc. as quantidades para cada filha. Portanto x = q1+q2+q3 etc.
A primeira filha retirou 1 pérola mais 1/7 do restante:
q1 = 1 + 1/7 * (x-1) = (x+6)/7
Então restaram:
x - q1 = x - ((x+6)/7) = (6x-6)/7
A segunda retirou 2 pérolas mais 1/7 do restante:
q2 = 2 + 1/7 * ((6x-6)/7 - 2) = (6x+78)/49

Poderíamos agora calcular o restante e a quantidade para a terceira filha mas não é necessário. Como sabemos que as herdeiras receberam o mesmo número de pérolas, então, q1=q2=q3 etc. Assim, podemos igualar a quantidade q1 com q2 e encontrar o valor do número total de pérolas:
q1 = q2
(x+6)/7 = (6x+78)/49
x = 36

As pérolas eram em número de 36 e foram repartidas por 6 filhas. A primeira tirou 1 pérola e mais um sétimo de 35, isto é, 5; logo, tirou 6 pérolas e deixou 30. A segunda, das 30 que encontrou, tirou 2 mais um sétimo de 28, que é 4; logo, tirou 6 e deixou 24. A terceira, das 24 que encontrou, tirou 3 mais um sétimo de 21, ou 3. Tirou portanto 6, deixando 18 de resto. A quarta, das 18 que encontrou, tirou 4 mais um sétimo de 14. E um sétimo de 14 é 2, recebendo também 6 pérolas. A quinta encontrou 12 pérolas e retirou 5 e um sétimo de 7, isto é, 1; logo tirou 6. A sexta filha recebeu, por fim, as 6 pérolas restantes.


6. Problema de Lógica : Vida de Diofante :
Deus lhe concedeu graça de ser um menino pela sexta parte da sua vida. Depois ,por um doze avos, ele cobriu seu rosto com a barba. A luz do casamento iluminou-o após a sétima parte e cinco anos depois do casamento Ele concedeu-lhe um filho. Ah criança tardia e má, depois de viver metade da vida de seu pai o destino frio a levou. Após consolar sua mágoa em sua ciência dos números, por quatro anos, Diofante terminou sua vida. Quantos anos viveu Diofante?
A)88
B)76
C)80
D)84

Resolução :
A resposta correta é a alternativa D :
x/6 + x/12 + x/7 + 5 + x/2 + 4 = x
determine o mmc(6,12,7,2) coloca tudo sobre 84
(14x + 7x+ 12x + 420 + 42x + 336 )/84= 84x/84
cancele o denominador
14x + 7x + 12x + 420 + 42x + 336 = 84x
isole os termos que possuem a incógnita x pra esquerda e os numerais a direita
só resolver a equação do 1º grau
14x + 7x + 12x + 42x - 84x = -420 - 336
75x - 84x = -756
-9x = -756
x = 756/9
x = 84